에라토스테네스의 체(백준 1929 c++)

소수찾는 문제에 자주 나오는 알고리즘이므로

한 번 정리 해두려 한다

 

 

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여긴 복붙이라 봐도되고 밑으로 내려도된다

1. 2부터 소수를 구하고자 하는 구간의 모든 수를 나열한다. 그림에서 회색 사각형으로 두른 수들이 여기에 해당한다.
2. 2는 소수이므로 오른쪽에 2를 쓴다. (빨간색)
3. 자기 자신을 제외한 2의 배수를 모두 지운다.
4. 남아있는 수 가운데 3은 소수이므로 오른쪽에 3을 쓴다. (초록색)
5. 자기 자신을 제외한 3의 배수를 모두 지운다.
6. 남아있는 수 가운데 5는 소수이므로 오른쪽에 5를 쓴다. (파란색)
7. 자기 자신을 제외한 5의 배수를 모두 지운다.
8. 남아있는 수 가운데 7은 소수이므로 오른쪽에 7을 쓴다. (노란색)
9. 자기 자신을 제외한 7의 배수를 모두 지운다.
10. 위의 과정을 반복하면 구하는 구간의 모든 소수가 남는다.

그림의 경우 11^(2)>120 이므로 11보다 작은 수의 배수들만 지워도 충분하다. 즉, 120보다 작거나 같은 수 가운데 2, 3, 5, 7의 배수를 지우고 남는 수는 모두 소수이다.

 

 

출처 : https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%97%90%EB%9D%BC%ED%86%A0%EC%8A%A4%ED%85%8C%EB%84%A4%EC%8A%A4%EC%9D%98_%EC%B2%B4

에라토스테네스의 체 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전

 

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정리하자면

n을 입력받아

1~n중에 소수를 알고 싶으면

2,3,5,7 ... i*i<=n 을 만족하는 i까지의 소수들 중

자기 자신을 제외한 배수를 모두 false로 처리한다

그렇게 되면

true인 값들은 소수로 판별할 수 있다

이렇게 말하면 뭔소린지 잘 이해가 안되니까

코드를 보면서 이해하자

 

 

 

 

void Eratos(int n)
{
    /*  만일 n이 1보다 작거나 같으면 함수 종료 */
    if (n <= 1) return;

    /*	2부터 n까지 n-1개를 저장할 수 있는 배열 할당
		배열 참조 번호와 소수와 일치하도록 배열의 크기는
		n+1 길이만큼 할당(인덱스 번호 0과 1은 사용하지 않음)	*/
	bool* PrimeArray = new bool[n + 1];

	/*  배열초기화: 처음엔 모두 소수로 보고 true값을 줌	*/
	for (int i = 2; i <= n; i++)
	    PrimeArray[i] = true;

	/*	에라토스테네스의 체에 맞게 소수를 구함
		만일, PrimeArray[i]가 true이면 i 이후의 i 배수는 약수로 i를
		가지고 있는 것이 되므로 i 이후의 i 배수에 대해 false값을 준다.
		PrimeArray[i]가 false이면 i는 이미 소수가 아니므로 i의 배수 역시
		소수가 아니게 된다. 그러므로 검사할 필요도 없다.
또한 i*k (k < i) 까지는 이미 검사되었으므로 j시작 값은 i*2에서 i*i로 개선할 수 있다.
	*/
	for (int i = 2; i * i <= n; i++)
	{
		if (PrimeArray[i])
			for (int j = i * i; j <= n; j += i)
			    PrimeArray[j] = false;
	}

	// 이후의 작업 ...
}

배열을 n+1 인덱스 까지 할당하고

전부 true로 초기화 해준다

일단 모두 소수로 본다

그 후에 일련의 과정을 거쳐 소수가 아닌 것들은 false로 바꿔

나중에 true인 것들만 출력하면 그게 소수들의 집합이다

 

 

for(int i=2; i*i<=n; i++)

이 코드를 보면

i*i<=n이게 핵심이다

n이 만약 120으로 주어졌다면

i=2~120까지 반복문으로 확인할 필요가없고

i=2~10까지 확인하면 된다(배수를 다 false로 처리하기때문에)

왜냐하면 11*11>120이므로

11보다 작고 2보다 크거나 같은

2~10 까지에서의 소수의 배수들만 처리하면

2~120을 일일히 처리하는 것보다

중복을 최대한 줄일 수 있다

 

 

 

 

다음으로

if (PrimeArray[i])
			for (int j = i * i; j <= n; j += i)
			    PrimeArray[j] = false;
	}

이 코드에서

if(PrimeArray[i])

즉 소수인 수만 진행한다는건데

소수가 아닌 수 만약 i=4이면

이미 i는 2일때 4는 false로 처리됐을거다

4의 배수 8,12,16...은 이미 2의 배수가 다 false로 처리했다

그러니까 소수가 아닌 값들은 그 값들의 배수들도 이미 false로 처리가됐을거기때문에

중복되는 일을 막기 위한 것이다

 

for(int j=i*i;  j<=n;   j+=i)

이 코드에서 j=i*i로 시작하는 이유는

j의 배수 중 i*i 이하의 수는 이미 false로 처리됐기 때문이다

예를들어

i=5일때  5, 10, 15, 20, 25를 보면

10,20은 이미 2의배수에서 false로

15는 3의배수에서 false로 됐다

처음 true로 설정된 값은 i*i부터이다

그래서 i*2로 시작하는것보다 더 효율적이다

 

 

 

 

 

1929번 코드

 

 

#include <iostream>
#include <math.h>

using namespace std;


void Eratos(int,int);

int main() {

	int m, n;
	cin >> m >> n;

	Eratos(n, m);





	return 0;
}


void Eratos(int n,int m) {

	

	bool* PrimeArray = new bool[n + 1];


	for (int i = 2; i <= n; i++)
		PrimeArray[i] = true;	//처음엔 모두 소수로 봄


	PrimeArray[1] = false;

	for (int i = 2; i * i <= n; i++) {	//n에 루트씨운거 이하의 값들 중
										//소수만 판별해도 됨
										//예를들어 n이 120이면
										//11*11>120 이므로
										//11보다 작은 수의 배수들만 지워도 된다
		
		if (PrimeArray[i]) {	//PrimeArray[i]가 false이면
								//i는 이미 소수가 아니므로 i의 배수 역시 소수가 아니게 된다
								//그러므로 검사할 필요도없다
			for (int j = i * i; j <= n; j += i) {	// i*k(k<i)까지는 이미 검사되었으므로
													//j의 시작값은 i*2에서 i*i로 개선할 수 있다
				PrimeArray[j] = false;
			}

		}

	}

	
	for (int i = m; i <= n; i++) {
		if (PrimeArray[i])
			cout << i << "\n";
	}

}

 

 

 

내가 겪었던 출력초과, 시간초과오류

 

출력초과는 배열 초기화를 0~n까지 하지 않고

m~n까지 했을때 나타났다

 

시간초과는

cout<<arr[i]<<endl;을

cout<<arr[i]<"\n";으로 바꾸어주니

해결됐다

이게 참 어이가 없었는데

출력 다 잘되는데 시간초과가 떠서 뭐가 문젠가 했더니

이 한줄바꾸니 됐다

 

이건 뭐..진짜 질문아니었음 몰랐을듯

endl보다 "\n"이 더빠르다는 걸 알게됐다 왜지?ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

 

그리고

배열을 new로 할당해주고

초기값이 당연히 true일거라 생각했는데

초기화를 해주어야핸다는 것을 이번 문제를 통해 알게되었다